Wittgenstein y las matemáticas

No he hablado con un solo matemático que no tuviese un pésimo concepto de Wittgenstein. Uno en concreto, tan indignado como elocuente, se refirió a la famosa proposición número 7 de Wittgenstein —De lo que no se puede hablar hay que callarse— en estos términos: “Consigue, ardua proeza, ser solemne e insustancial al mismo tiempo”.

Rebecca Goldstein, Gödel: paradoja y vida, p. 107

En 1939, Wittgenstein dictó en Cambridge varias clases especiales que versaban sobre los fundamentos de las matemáticas. Con ellas pretendía desacralizarlas, desplatonizarlas. Según Platón, las matemáticas existen fuera de la mente humana y son descubiertas por ella (en filosofía de las matemáticas, esta es la teoría realista); según Wittgenstein, las matemáticas son convencionales, no son descubiertas sino inventadas por nuestra mente (esta es la teoría constructivista). La postura platónica es la que sustentaba el matemático (y examigo de Wittgenstein) Godfrey Hardy:

Ningún matemático puede ver con simpatía una filosofía que no admita, de una manera u otra, la validez inmutable e incondicional de la verdad matemática. Los teoremas matemáticos son verdaderos o falsos; su verdad o falsedad es absoluta e independiente de que los conozcamos o no. En cierto sentido, la verdad matemática es parte de una realidad objetiva... [las proposiciones matemáticas] son, en uno u otro sentido, y por muy elusivo y sofisticado que pueda ser ese sentido, teoremas que se refieren a la realidad... No son creaciones de nuestra mente (“Prueba matemática”, conferencia dictada por Hardy en 1929, citada en RM, p. 307)[1].

Este tipo de observaciones exasperaban a Wittgenstein, y estas clases o conferencias[2] estaban dedicadas principalmente a desmontar este aserto de las cabezas de sus alumnos, utilizando un lenguaje lo menos técnico posible para que la explicación sea accesible a quienes no tenían conocimientos especializados de esta ciencia.

La técnica de Wittgenstein no era reinterpretar ciertas pruebas en concreto, sino redescribir la totalidad de las matemáticas de tal manera que la lógica matemática apareciera como la aberración filosófica que él creía que era, y disolviendo enteramente la imagen de las matemáticas como una ciencia que descubre hechos acerca de los objetos matemáticos (números, series, etc.). «Una y otra vez», decía, «intentaré mostrar que lo que se denomina un descubrimiento matemático haría mejor en llamarse una invención matemática» (RM, p. 383).

Las clases eran abiertas para todos quienes estuviesen interesados en el tema, y en ellas solía presentarse el matemático Alan Turing, que por ese entonces también daba clases en Cambridge. Cuando Turing aparecía, la clase se transformaba en un debate entre ambos pensadores. Wittgenstein quería que admitiera que la “inexorabilidad” de las matemáticas no consiste en un cierto conocimiento de las verdades matemáticas, sino en el hecho de que las proposiciones matemáticas son gramaticales.

Pero no iba a convencer a Turing. Para él, al igual que para Russell y para la mayoría de matemáticos profesionales, la belleza de las matemáticas, su mismísimo «hechizo», residía precisamente en su poder de proporcionar, en un mundo por otro lado incierto, verdades irrebatibles. («¡Irrefutabilidad, tu nombre es matemáticas!», tal como lo expresó una vez W. V. Quine.) (RM, pp. 383-4).

Sin embargo, la desavenencia fundamental no era esta sino la que ponía en tela de juicio el principio de contradicción:

Todas las corrientes de pensamiento convencionales en el campo de los fundamentos de las matemáticas —logicismo, formalismo e intuicionismo— están de acuerdo en que si un sistema tiene en su seno una contradicción oculta, entonces hay que rechazarlo con el argumento de que no es consistente. De hecho, todo el asunto de proporcionarles a las matemáticas unos sólidos fundamentos lógicos tenía que ver con que el cálculo, tal como se considera tradicionalmente, es manifiestamente inconsistente.

En sus clases, Wittgenstein ridiculizaba esa preocupación por las «contradicciones ocultas», y era a eso a lo que Turing oponía su desacuerdo más enérgico y obstinado. [...]

Estaba claro que Turing tenía que explicar no solo por qué era desconcertante, sino por qué era importante. El verdadero perjuicio causado por un sistema que contiene una contradicción, sugería, «no aparecerá hasta que se aplique, en cuyo caso podría caerse un puente u ocurrir algo de ese tipo» (RM, pp. 385-6).

Wittgenstein afirmaba que los puentes se caen si uno se equivoca en el cálculo, no si aparece una contradicción. Las contradicciones, según él, no tienen injerencia en los cálculos. Uno no puede hacer un cálculo erróneo con una contradicción, pues simplemente no puede utilizarla para calcular.

Al poco tiempo, comenta Monk,

Turing dejó de asistir, convencido sin duda de que si Wittgenstein no admitía que una contradicción era una mácula fatal en un sistema matemático, entonces no había nada en común entre ellos. De hecho, debía de necesitarse bastante coraje para asistir a esas clases como único representante de todo lo que Wittgenstein atacaba, rodeado de los acólitos de este y viéndose obligado a discutir los temas de una manera que le era poco familiar (RM, p. 386).

Mis escasos conocimientos de lógica matemática no me permiten emitir una opinión fundamentada en propios argumentos, pero por supuesto estoy en el bando de Turing: con el principio de contradicción no se juega.

No fue Turing el único matemático que se opuso a las concepciones de Wittgenstein. Georg Kreisel, que había sido su alumno en 1942, lo criticó luego acerbamente: “Las opiniones de Wittgenstein concernientes a la lógica matemática no valen gran cosa, porque sabía muy poco, y lo que sabía se limitaba a la línea de investigación de Frege-Russell”; y cuando se publicaron los Cuadernos azul y marrón, su rechazo se expresó en términos aún más contundentes: “Como introducción a los problemas significativos de la filosofía tradicional, los libros son deplorables” (citado en RM, p. 454).

 ¿Estaba o no estaba capacitado Wittgenstein para filosofar sobre las matemáticas? Según él, si nos disponemos a incursionar en alguna disciplina científica tenemos que abarcarla por completo, conocerla bien a fondo en todos sus intersticios y no pecar de diletantes (ver la entrada del 4/4/19). Tendría yo que suponer entonces que Wittgenstein conocía muy bien de lo que hablaba cuando hablaba de matemáticas, pese a lo que opinen Turing, Kreisel, Hardy y los matemáticos con los que habló Rebecca Goldstein.

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[1] Esta postura estrictamente platónico-pitagórica se debe en parte a la influencia que sobre Hardy ejerció Srinivāsa Aiyangār Rāmānujan, su alumno predilecto, de origen indio, a quien, sin estudios específicos en matemática avanzada, se le revelaban en sueños complejísimas ecuaciones, dictadas por algún dios según afirmaba.

[2] “Apenas si se puede decir que estas reuniones fueran «conferencias», aunque este es el nombre que Wittgenstein les daba. Pues, para empezar, en estas reuniones se llevaba a cabo una búsqueda original. Wittgenstein hablaba sobre ciertos problemas del modo que hubiera hablado de estar solo. Además, las conferencias consistían, en su mayor parte, en conversación” (Norman Malcolm, Recuerdo de Ludwig Wittgenstein, texto incluido en una compilación a cargo de Ricardo Jordana titulada Las filosofías de Ludwig Wittgenstein, p. 41).